纸上谈兵: 图 (graph)

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

图(graph)是一种生活生活比较松散的数据型态。它有有些节点(vertice),在有些节点之间,由(edge)相连。节点的概念在树中也出先过,我们 通常在节点中储存数据。边表示另另还有一个节点之间的存在关系。在树中,我们 用边来表示子节点和父节点的归属关系。树是一种生活生活特殊的图,但限制性更强有些。

那我 的一种生活生活数据型态是很常见的。比如计算机网络,好多好多 由有些节点(计算机将会路由器)以及节点之间的边(网线)构成的。城市的道路系统,也是由节点(路口)和边(道路)构成的图。地铁系统能够能理解为图,地铁站能够认为是节点。基于图有有些经典的算法,比如求图中另另还有一个节点的最短路径,求最小伸展树等。

图的经典研究是柯尼斯堡七桥问题报告 报告 (Seven Bridges of Königsberg)。柯尼斯堡是现今的加里宁格勒,城市涵盖十根河流过,河涵盖另另还有一个小岛。有七座桥桥连接河的两岸和另另还有一个小岛。送信员总想知道,有这麼 另另还有一个依据 ,能不重复的走过7个桥呢?

(你什儿 问题报告 报告 在有些奥数教材中称为"一笔画"问题报告 报告 )

欧拉时代的柯尼斯堡地图

柯尼斯堡的能够看作由7个边和另另还有一个节点构成的另另还有一个图:

你什儿 问题报告 报告 最终被欧拉巧妙的除理。七桥问题报告 报告 也启发了一门新的数学得科——图论(graph theory)的诞生。欧拉的基本思路是,将会某个节点都有起点将会终点,这麼 连接它的边的数目时需为偶数个(从另另还有一个桥进入,再从那我 桥选者离开)。对于柯尼斯堡的七桥,将会另另还有一个节点都为奇数个桥,而最多不到有另另还有一个节点为起点和终点,好多好多 有不将会一次走完。

图的定义

严格的说,图[$G = (V, E)$]是由节点的集合V和边的集合E构成的。另另还有一个图的所有节点构成另另还有一个集合[$V$]。另另还有一个边能够表示为[$(v_1, v_2)$],其中[$v_1, v_2 \in V$],即另另还有一个节点。将会[$(v_1, v_2)$]有序,即[$(v_1, v_2)$]与[$(v_2, v_1)$]不同,这麼 图是有向的(directed)。有序的边能够理解为单行道,不到沿另另还有一个方向行进。将会[$(v_1, v_2)$]无序,这麼 图是无向的(undirected)。无序的边能够理解成双向都能够行进的道路。另另还有一个无序的边能够看作连接相同节点的另另还有一个反向的有序边,好多好多 是是不是向图能够理解为有向图的一种生活生活特殊情况汇报。

(七桥问题报告 报告 中的图是无向的。城市中的公交线路能够是无向的,比如存在单向环线)

图的另另还有一个路径(path)是图的一系列节点[$w_1, w_2, ..., w_n$],且对于[$1 \le i < n $],有[$ (w_i, w_{i+1}) \in E$]。也好多好多 说,路径是一系列的边连接而成,路径的两端为另另还有一个节点。路径上方的总数称为路径的长度。乘坐地铁时,我们 会在选者某个路径,来从A站到达B站。那我 的路径将会有不止十根,我们 往往会根据路径的长度以及沿线的拥挤情况汇报,来选者十根最佳的路线。将会存在十根长度大于0的路径,该路径的两端为同一节点,这麼 认为该图中存在环路(cycle)。很明显,上海的地铁系统中存在环路。

 

找到十根环路

将会从每个节点,到任意另另还有一个其它的节点,都有十根路径的话,这麼 图是连通的(connected)。对于另另还有一个有向图来说,那我 的连通称为强连通(strongly connected)。将会另另还有一个有向图不满足强连通的条件,但将它的所有边都改为双向的,此时的无向图是连通的,这麼 认为该有向图是弱连通(weakly connected)。

将会将有火车站的城市认为是节点,铁路是连接城市的边,那我 的图将会是不连通的。比如北京和费城,北京有铁路通往上海,费城有铁路通往纽约,但北京和费城之间这麼 路径相连。

图的实现

一种生活生活简单的实现图的依据 是使用二维数组。让数组a的每一行为另另还有一个节点,该行的不同元素表示该节点与有些节点的连接关系。将会[$(u, v) \in E$],这麼 a[u][v]记为1,而且为0。比如下面的另另还有一个涵盖另另还有一个节点的图:

 

能够简单表示为

a 1 2 3
1 0 1 1
2 0 0 0
3 0 1 0

你什儿 实现依据 所存在的空间为[$O(|V|^2)$],[$|V|$]为节点总数。所需内存随着节点增加而迅速增多。将会边都有很密集,这麼 好多好多 有数组元素记为0,不到稀疏的有些数组元素记为1,好多好多 有并都有很经济。

更经济的实现依据 是使用,即记录每个节点所有的相邻节点。对于节点m,我们 建立另另还有一个链表。对于任意节点k,将会有[$(m, k) \in E$],就将该节点倒入到对应节点m的链表中。邻接表是实现图的标准依据 。比如下面的图,

 

能够用如下的数据型态实现:

 

左侧为另另还有一个数组,每个数组元素代表另另还有一个节点,且指向另另还有一个链表。该链表包涵盖该数组元素所有的相邻元素。

总体上看,邻接表能够分为两累积。邻接表所存在的总空间为[$O(|V| + |E|)$]。数组累积储存节点信息,存在[$|V|$])的空间,即节点的总数。链表存储边的信息,存在[$|E|$]的空间,即边的总数。在有些复杂的问题报告 报告 中,定点和边还将会有有些的附加信息,我们 能够将那些附加信息储存在相应的节点将会边的位置。

下面为具体的C代码:

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5

typedef struct node *position;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int);
void print_graph(position graph, int nv);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=1; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,1,2);
    insert_edge(graph,1,4);
    insert_edge(graph,3,2);
    insert_edge(graph,4,2);
    insert_edge(graph,4,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=1; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; ", i, p->element);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果:

From   1: 1->4; 1->2;

From   2:

From   3: 3->2;

From   4: 4->3; 4->2;

上方的实现主要基于链表,可参考纸上谈兵: 表 (list) 。

总结

图是一种生活生活很简单的数据型态。图的组织依据 比较松散,自由度比较大,但也造成比较高的算法复杂度。我将在时候介绍有些图的经典算法。

欢迎继续阅读“纸上谈兵: 算法与数据型态”系列